Die Gravitationskraft in einer Welt mit Extra-Dimensionen

welt der kleinen Physik

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Gibt es in unserem Universum nur drei Raum- und eine Zeitdimension? Oder gibt es vielleicht zusätzliche Raumdimensionen, deren Existenz uns bis heute verborgen geblieben ist? Falls ja, hätte dies weit reichende Konsequenzen. Insbesondere würde sich das Gravitationsgesetz bei kleinen Abständen verändern.


Gibt es in unserem Universum nur drei Raum- und eine Zeitdimension? Oder gibt es vielleicht zusätzliche Raumdimensionen, deren Existenz uns bis heute verborgen geblieben ist? Da solche Extra-Dimensionen bisher nicht beobachtet wurden, muss ihre Ausdehnung endlich sein, d.h. sie müssen “kompaktifiziert” sein. Anschaulich kann man sich das so vorstellen, als seien diese Dimensionen auf kleinsten Abständen “aufgerollt” – ähnlich wie ein Strohhalm, der aus der Ferne wie eine eindimensionale Linie erscheint, aus der Nähe betrachtet aber mehr als eine Dimension aufweist.Sollten solche Extra-Dimensionen tatsächlich existieren, so hätte dies Auswirkungen, die sich – bei ausreichend großer Ausdehnung der zusätzlichen Raumdimensionen – mit Hilfe moderner Teilchenbeschleuniger nachweisen ließen (siehe wdp-Artikel “Die Suche nach den Extra-Dimensionen”, “Schwarze Löcher von Menschenhand gemacht” und “Schwarze Löcher am LHC”).Und tatsächlich ist die Existenz solcher “großen” Extra-Dimensionen nicht bloße Spekulation von Science-Fiction-Autoren – sondern wurde 1998 von den theoretischen Physikern Nima Arkani-Hamed, Savas Dimopoulos und Georgi Dvali vorgeschlagen. (“Groß” bedeutet in diesem Zusammenhang sehr viel größer als die Planck-Länge von 10-35 m, aber kleiner als 0,1 mm.) Ihre wesentliche Motivation war die Lösung des so genannten Hierarchieproblems, d.h. der Frage, warum die Gravitationskraft im Vergleich zu den anderen fundamentalen Kräften so unglaublich schwach ist, bzw. warum die Planck-Skala, bei der die Schwerkraft so stark wie die anderen Kräfte wird, mit 1019 GeV so unglaublich groß ist. Wenn man zusätzliche Raumdimensionen in die Theorie einführt, lässt sich diese Diskrepanz auf natürliche Weise erklären.

Das Gravitationsgesetz bei Extra-Dimensionen

Mit der Existenz zusätzlicher, kompaktifizierter Raumdimensionen verändert sich das Gravitationsgesetz – und zwar unterhalb jener kleinen Abstände, die der Ausdehnung der Extra-Dimensionen entsprechen. Bei größeren Abständen bleibt alles beim Alten. Dies steht tatsächlich in keinem Widerspruch zu heutigem Wissen, da das Gravitationsgesetz bisher nur oberhalb von Abständen von etwa 0,1 mm experimentell überprüft wurde. Dass sich die Schwerkraft bei kleineren Abständen genauso verhält, vermutete man zwar – experimentell bestätigt ist es jedoch nicht.

Der klassischen Gravitationstheorie zufolge hängt die Stärke der Gravitationskraft zwischen zwei Körpern vom Quadrat des Abstands zwischen den Körpern ab – und zwar umgekehrt proportional: Das heißt, je kleiner der Abstand zwischen ihnen, desto stärker ziehen sich zwei Körper über die Schwerkraft an. Mathematisch ausgedrückt ist die Gravitationskraft also proportional zu 1/r2, und zwar – der klassischen Theorie zufolge – unabhängig davon, wie groß oder klein der Abstand r zwischen den betrachteten Körpern ist.

Gauß'sches Gesetz
Gravitationsfluss durch eine Kugeloberfläche
Bildbeschreibung:
Veranschaulichung des Gauß’schen Gesetzes: Der Fluss des Gravitationsfeldes, d.h. die Zahl der von einer Masse ausgehenden Feldlinien, die eine geschlossene Oberfläche durchdringen, bleibt unabhängig von Größe (und Form) der Oberfläche konstant.

Sollte unser Universum noch weitere, aufgerollte Raumdimensionen besitzen, so würde die Gravitationskraft bei kleinen Abständen von diesem bekannten 1/r2-Verhalten abweichen. Dies lässt sich mit Hilfe des Gauß’schen Gesetzes verstehen, von dem man annimmt, dass es auch für mehrdimensionale Welten gilt. Das Gauß’sche Gesetz besagt, dass der Fluss des Gravitationsfeldes durch zwei verschiedene, die gleiche Masse umschließende Oberflächen konstant ist; das heißt, dass Massen die einzigen Quellen der Feldlinien des Gravitationsfelds sind (vergl. Abbildung). Hieraus ergibt sich für eine dreidimensionale Welt die bekannte 1/r2-Abhängigkeit der Gravitationskraft, da die Integration über eine geschlossene Kugeloberfläche in drei Dimensionen 4πr2 liefert. Für vier Raumdimensionen ergibt sich analog eine 1/r3-, für n Dimensionen eine 1/rn-1-Abhängigkeit, da sphärische Oberflächen in n Dimensionen proportional zu rn-1 wachsen.

Gravitationskraft
Die Gravitationskraft in drei und vier Dimensionen
Bildbeschreibung:
Vergleich des Newton’schen Gravitationsgesetzes in der dreidimensionalen Welt mit dem Verlauf der Gravitationskraft in einer Welt mit vier Raumdimensionen.

Aufgrund der endlichen Ausdehnung R der zusätzlichen Raumdimensionen ist diese veränderte r-Abhängigkeit aber erst für Abstände kleiner als R wirksam. Für größere Abstände ergibt sich das beobachtete 1/r2-Verhalten, da die umschließende Oberfläche für r > R nur noch in den uns bekannten drei Dimension weiter wachsen kann. Insgesamt erhält man somit das folgende Bild: Für r > R gilt das bekannte Newton’sche Gravitationsgesetz; für r < R wächst die Gravitationskraft im Fall zusätzlicher Raumdimensionen hingegen zu kleinen Abständen hin deutlich schneller an.

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